Pointless trigonometrics

Aclaro que mis conocimientos sobre el tema no van más allá de algún curso de trigonometría básico del grado. En fin, esto me resulta curioso y no tengo la menor idea de por qué puede ser.

Gracias a la Wiki, sabemos que un radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud (curva) es igual a la del radio (recta) de la circunferencia. El radián es una medida del sistema internacional, la equivalencia entre éstos y los grados sexagesimales está determinada por

Por otra parte, es sabido que

Ello puede “verificarse” haciendo:

Ahora, nótese que a medida que se agregan decimales, la sucesión de los dígitos parece converger la de un radián. Es decir, si eso llega a ser cierto creo que podría expresarse lo siguiente; basándonos en la siguiente descomposición,
podría plantearse el siguiente “modelo” para aproximar tangentes cercanas a noventa por izquierda…

donde K es el número de posiciones decimales en el valor del ángulo. ¿Cuál sería el comportamiento del error e?